Muss der Patient an jeder Teilstelle der Institution (Anmeldung, Labor, Ultraschall, usw) seine eGK bereit halten, damit man digital arbeiten kann?

Nein. Der Patient benötigt nur seine eGK, wenn beispielsweise der Notfalldatensatz oder der eMedikationsplan auf die eGK geschrieben oder ergänzt werden sollen.
Ebenfalls wird die eGK (mit PIN) benötigt, wenn der Patient in der Praxis einen Zugriff auf seine ePA freigeben möchte.